体積(応用編)No.1

1982年 東大

$xyz$空間において, 不等式$0\leqq1+x+y-3(x-y)y$, $0\leqq y\leqq1$, $y\leqq x\leqq y+1$のすべてを満足する$x, y, z$を座標にもつ点全体がつくる立体の体積を求めよ.

体積を求める際に必要になるのは立体の概形がきちんと描ける力ではなく,

① 切り口の面積
② 切り口の存在範囲

です.
したがって, 本問のように3次元で立体を図示できないときは1文字固定
が有効です.
そこで, どのように固定するかですが, 基本的に以下の2点を意識するとよいでしょう.

① 最頻出文字
② 最高次数文字    

本問では$y$を固定するとよさそうです.
$y=t$で切断し$t$の範囲を考えます. そうすることで, いままで3変数で扱いにくかったものが$x$と$z$の2変数関数となるので図示できます.
そうして得られた断面を$t$軸に沿って積分することで体積が求められるというわけです。

 

 

 

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