整数(応用編)No.1

$a, b$は実数で$a^2+b^2=16, a^3+b^3=44$をみたしている。このとき、
(1) $a+b$の値を求めよ。
(2) $n$を2以上の整数とするとき、$a^n+b^n$は4で割り切れる整数であることを示せ。
まず見た瞬間$a$と$b$の対称式であることに気付けなければいけません。対称式の場合、$a+b=\alpha, ab=\beta$とおくのが基本ですね。今回もそのように設定しましょう。
すると、$a, b$というのは$t^2-\alpha t+\beta=0$の2解であり、$a, b$は実数だから判別式から$\alpha^2-4\beta\geqq 0$ すなわち、$\alpha^2 \geqq 4\beta$を得ます。この流れは今まで何度もやったことがあるはずです。
$a^2+b^2=16\cdots\cdots①、a^3+b^3=44\cdots\cdots②$としておきましょう。
そうすると、あとは①、②から$\beta$を消去して$\alpha$の範囲に注意して求めればよいでしょう。
(2)ですが、

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