極限(基礎編)No.1

次の極限を求めよ.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigg(\ \dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{2}{\sqrt{n}}+\cdots+\dfrac{n}{\sqrt{n}}\Bigg)$

「自然数の逆数の和の極限が$\infty$になることを知っていれば本問も$\infty$になると予想できます.(この事実は証明も含めて知っておくべきです.)」
よって$\infty$ にもっていくには追い出しの原理を用いようと考えるわけです. この場合, 最小の項は$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$なので, すべての項を$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$に置き換えて不等式を作ります. そうすることで$\infty$にもっていけるわけです.

では解答です.

$S_n=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$とおく.

$1\leqq k\leqq n$である$k$に対して,

$\dfrac{1}{\sqrt{k}}\geqq\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

であるから,

$S_n\geqq\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

=$n\cdot\dfrac{1}{\sqrt{n}}$

=$\sqrt{n}\rightarrow\infty$

である.

よって, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\infty\cdots\cdots$(答)

 

 

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