極限(応用編)No.1

2000年 阪大 極限

実数$x$に対して, $x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す. $n$を正の整数とし,

$$a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{[\sqrt{2n^2-k^2}]}{n^2}$$
とおく. このとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ.

ガウス記号の定義を用います. つまり不等式を作ることにより, ガウス記号を外すように考えます. ガウス記号の定義式(イコールが入るか入らないかは重要なところです.)

$x-1 < [x] \leqq x$
次にポイントになるのが区分求積法です.
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f \Big(\ \dfrac{k}{n}\Big)=\displaystyle\int_{0}^1f(x)dx$
を用いればよいでしょう.
では解答です.

 

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