複素数平面(応用編)No.1

2017年 東大 複素数

複素数平面上の原点以外の点$z$に対して, $w=\dfrac{1}{z}$とする.
(1) $\alpha$を0でない複素数とし, 点$\alpha$と原点$O$を結ぶ線分の垂直二等分線を$L$とする.点$z$が直線$L$上を動くとき, 点$w$の軌跡は円から1点を除いたものになる. この円の中心と半径を求めよ.
(2)  1の3乗根のうち, 虚部が正であるものを$\beta$とする. 点$\beta$と点$\beta^2$を結ぶ線
分上を点$z$が動くときの点$w$の軌跡を求め, 複素数平面上に図示せよ.

まず与えられた状況を図示して立式したいところです. すると$z$と$\alpha$, $z$と$O$の距離は常に等しいという条件が得られます. すなわち$|z-0|=|z-\alpha|$であり, 今欲しいのは$w$の軌跡なので$w=\dfrac{1}{z}$という関係式を用いて$w$だけの式にもっていきます.
さて, そうすると$ |\dfrac{1}{w}|=|\dfrac{1}{w}-\alpha|$という式が得られますがこのままでは見にくいですね. そこで円の中心と半径が分かるのは次のような形ですからそう変形していきましょう.

$|w-〇|=△^2$                 (この場合は中心が〇で半径が△)

(1)は基本的な問題ですね.

 

 

では, (1)の解答です.

$|z-0|=|z-\alpha|$

$\therefore |z|=|z-\alpha|$

$\therefore |\dfrac{1}{w}|=|\dfrac{1}{w}-\alpha|=|\dfrac{1-\alpha w}{w}|$

$\therefore |1-\alpha w|=1$

$\therefore |w-\dfrac{1}{\alpha}|=\dfrac{1}{|\alpha|}$

よって, 中心は$\dfrac{1}{\alpha}$, 半径は$\dfrac{1}{|\alpha|}$ $\cdots\cdots$(答)

 

続いて(2)にいきましょう.
まず$\beta$とはなにか, ですが結局$x^2+x+1=0$の解のうち虚部が正のほうを選べばよいわけです.因数分解すると$x=1$もでてきますが虚部が存在するのでこれはダメですね. そこから$\beta^2$も

では, (2)の解答です.

$1^\dfrac{1}{3}=x$とおくと, $x^3=1$

$\therefore (x-1)(x^2+x+1)=0$

$x^2+x+1=0$を解き, 題意を考えると,

$\beta=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i=cos\dfrac{2}{3}\pi+isin\dfrac{2}{3}\pi$

ドモアブルの定理を用いると,

$\beta^2=cos\dfrac{4}{3}\pi+isin\dfrac{4}{3}\pi$

上図から, $z=-\dfrac{1}{2}+ki (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq k \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2})$とおける.

$w=\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}+ki}\cdot\dfrac{-\dfrac{1}{2}-ki}{-\dfrac{1}{2}-ki}$

$=-\dfrac{2}{4k^2+1}-\dfrac{4k}{4k^2+1}i$

ここで, $x=-\dfrac{2}{4k^2+1}, y=-\dfrac{4k}{4k^2+1}$

とおくと,

2式から, $\dfrac{y}{x}=2k \therefore k=\dfrac{y}{2x}$

上の$x$の式に代入して, $x^2+y^2=-2x$

$\therefore (x+1)^2+y^2=1 $

$k$の範囲は, $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq\dfrac{y}{2x}\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore -\sqrt{3}\leqq\dfrac{y}{x}\leqq\sqrt{3}$

いま, $x=-\dfrac{2}{4k^2+1} (<0)$より, 不等式の符号に注意すると $\dfrac{y}{x}\leqq\sqrt{3} \Leftrightarrow y\geqq\sqrt{3}x$ $-\sqrt{3}\leqq\dfrac{y}{x}\Leftrightarrow y\leqq-\sqrt{3}x$ よって, 下図のようになる。(赤線部分)

 

 

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