過去問解説 1999年 京都大学
$\alpha, \beta, \gamma$は $$\alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0, \alpha+\beta+\gamma=\pi$$ を満たすものとする。このとき、$\sin\alpha\sin\b...
過去問解説 極限 極限No.6(ロピタルの定理)
今までは$\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$が$\dfrac{0}{0}$になるとき、約分や有理化をすることで極限が求まりました。式変形が複雑なものもあり大変ですが、ロピタルの定理を使...
過去問解説 2023年 山口大学
次の問いに答えよ。 (1) $\alpha, \beta$を実数とする。等式 $$\sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha - \beta)=2\sin \alpha\cos \beta$$ を示せ。 (2) ...
極限 極限No.3(追い出しの原理)
$\infty$にいくことを証明したい場合に用いることが多いのが追い出しの原理です。 直感的にも明らかですが、$\infty$よりも大きいならば$\infty$に発散する、ということです。 追い出しの原理 関数$f(x...
整数 整数No.4(部屋割り論法)
$n$個の部屋に$n+1$人を入れると必ず2人以上が入る部屋が存在する という原理を「ディリクレの部屋割り論法」という。(別名 : 鳩ノ巣原理) では、このディリクレの部屋割り論法を使った問題を見ていきましょう。 $x-y$平面において、$...
解析学(微積) 解析学No.1
オイラーの公式 $$e^{iy}=\cos y+i\sin y$$ オイラーの公式において、$y$を$-y$に変えると$e^{-iy}=\cos y-i\sin y$となり、この式とオイラーの公式を加えて2で割ると、 $$\cos y=\d...
整数 整数No.2(modの性質)
$m$を2以上の整数とする。 整数$a, b, a', b'$について $a\equiv a'(\mod m)$ $ b\equiv b'(\mod m)$ が成立しているとき、 (1) $a+b \equiv a'+b'(\mod m)$...
極限 極限No.1
今回は極限の計算問題について解説しようと思います。全何回になるかわかりませんが、受験において非常に大切な分野ですから、深く解説したいと思います。 それでは、まず1問目はこちらです。 次の極限を求めよ. $\displaystyle\lim_...
過去問解説 1998年 横浜国立大
1998年 横浜国立大 次の問いに答えよ。 (1) $x\geqq 0, y\geqq 0$のとき、つねに不等式 $$\sqrt{x+y}+\sqrt{y}\geqq \sqrt{x+ay}$$ が成り立つような正の定数$a$の最大値を求め...
整数 整数 No.1(無理数の証明)
整数問題の攻略法はある程度パターン化されているように思えますが、根底にあるのは実験です。いろいろ試してみると突破口が見えてきます。今回はいわゆる「絞り込み」というパターンにはめられる問題の解説をしていきたいと思います。整数問題のときに大事な...