抹茶

整数(応用編)

整数(応用編)No.1

$a, b$は実数で$a^2+b^2=16, a^3+b^3=44$をみたしている。このとき、 (1) $a+b$の値を求めよ。 (2) $n$を2以上の整数とするとき、$a^n+b^n$は4で割り切れる整数であることを示せ。 まず見た瞬間...
問題解説

最大・最小(応用編)No.1

1998年 横浜国立大 次の問いに答えよ。 (1) $x\geqq 0, y\geqq 0$のとき、つねに不等式 $$\sqrt{x+y}+\sqrt{y}\geqq \sqrt{x+ay}$$ が成り立つような正の定数$a$の最大値を求め...
整数(基礎編)

整数(基礎編)No.2

今回は整数問題でよく使う背理法を扱った問題を解説していきます。今まで「無理数であることを示せ、のときは背理法を使う」と覚えている人が多いのではないでしょうか。いわゆる否定命題のときは背理法をつかうのは受験数学では定石ですね。ところでなぜそう...
整数(基礎編)

整数(基礎編)No.1

整数問題の攻略法はある程度パターン化されているように思えますが、根底にあるのは実験です。いろいろ試してみると突破口が見えてきます。今回はいわゆる「絞り込み」というパターンにはめられる問題の解説をしていきたいと思います。整数問題のときに大事な...
勉強法

数学 勉強法

ここでは大学入試対策としての数学の勉強法を伝えようと思います。 まず、全分野に共通して言えることは基礎をごまかさず徹底的に鍛え、それをベースにして応用問題に挑戦してみる、ということです。たとえ東大の問題でも細分化していくと結局基礎の積み重ね...
極限(基礎編)

平均値の定理

以下を示せ。 0 < $a$ < $b$のとき  $1 - \dfrac{a}{b}$ < $log\dfrac{b}{a}$ < $\dfrac{b}{a} - 1$ まず、平均値の定理について確認しておきましょう。 関数$f(x)$が$...
極限(基礎編)

極限(基礎編)No.1

次の極限を求めよ. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigg(\ \dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{2}{\sqrt{n}}+\cdots+\dfrac{n}{\sqrt{n}}\Bigg...
極限(応用編)

極限(応用編)No.1

2000年 阪大 極限 実数$x$に対して, $x$を超えない最大の整数を$$で表す. $n$を正の整数とし, $$a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{}{n^2}$$とおく. このとき, $\displ...
体積(応用編)

体積(応用編)No.1

1982年 東大 $xyz$空間において, 不等式$0\leqq1+x+y-3(x-y)y$, $0\leqq y\leqq1$, $y\leqq x\leqq y+1$のすべてを満足する$x, y, z$を座標にもつ点全体がつくる立体の体...
複素数平面(応用編)

複素数平面(応用編)No.1

2017年 東大 複素数 複素数平面上の原点以外の点$z$に対して, $w=\dfrac{1}{z}$とする. (1) $\alpha$を0でない複素数とし, 点$\alpha$と原点$O$を結ぶ線分の垂直二等分線を$L$とする.点$z$が...