今回は微分方程式（講義）の第１回目です。高校数学では範囲外ですが、大学数学や高校物理ではでてくる分野です。
微分方程式は日常生活においても重要な概念で、自然現象を解明しようとするときなどに用いられています。
微分方程式
未知関数の微分を含む方程式
微分方程式の解き方には様々な解法が知られており、最も簡単な微分方程式は
$$\dfrac{dy}{dx}=f(x)$$
型のものです。この微分方程式の一般解は
$$y=\displaystyle\int f(x)dx+C $$
で表されます。($C:$積分定数)
では、ここで1題例題をやってみましょう。
例題1
一般解を求めよ。
$\dfrac{dy}{dx}=x^2-x+2$
解答を見る
$x$で積分して、
$$y=\displaystyle\int(x^2-x+2)dx + C$$
$$\therefore y=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+2x+C ・・・・・・(答)$$
一般解とは積分定数$C$を含んだ形のことで、適当な値を代入して$C$を消して出来上がる解を特殊解といいます。先ほどの例題で、たとえば$x=1, y=3$のもとで解くと、
$$3=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2+C$$
$$\therefore C=\dfrac{7}{6}$$
となり、$C$の値を得ます。これを一般解に代入すれば特殊解
$$y=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+2x+\dfrac{7}{6}$$
が得られます。
次は変数分離型微分方程式についてです。
変数分離型微分方程式
$$\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$
の形の方程式を変数分離形という。
先ほどの微分方程式と違うところは右辺が$x$と$y$の積になっていることです。これも解き方が決まっているので整理しておきます。
この変数分離型微分方程式の例題です。
例題1
$\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{x}{t} (t\neq 0)$の一般解を求めよ。
解答を見る
$x\neq 0$と仮定し、両辺を$x$で割ると、$$\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{1}{t}$$
両辺を$t$で積分すると、$$\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\dfrac{dx}{dt}dt=-\displaystyle\int\dfrac{1}{t}dt$$
$$\therefore\displaystyle\int\dfrac{1}{x}dx=-\log|t|+C$$
$$\therefore\log|x|+C_1=-\log|t|+C$$
$$\therefore\log|xt|=C-C_1$$
$$\therefore xt=e^{C-C_1}$$
$$\therefore x=\dfrac{C’}{t} ・・・・・・(答) (C=\pm e^{C-C_1}とおいた)$$
例題2
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y(y+1)}{x}$の一般解を求めよ。
解答を見る
与式$=\dfrac{dy}{y(y+1)}=\dfrac{dx}{x}$であり、積分すると、
$$\displaystyle\int\dfrac{dy}{y(y+1)}=\displaystyle\int\dfrac{dx}{x}$$
$$\therefore\log|y|-\log|y+1|=\log|x|+C$$
$$\therefore\log|\dfrac{y}{(y+1)x}|=C$$
$$\therefore\dfrac{y}{(y+1)x}=C’ (C’=\pm e^Cとおいた)$$
したがって、一般解は$$y=\dfrac{C’x}{1-C’x} ・・・・・・(答)$$
である。
例題3
$y\dfrac{dy}{dx}+e^{y^2}(x+1)=0$の一般解を求めよ。
解答を見る
変数を分離して、$$ye^{-y^2}dy=-(x+1)dx$$
両辺を積分すると、
$$\displaystyle\int ye^{-y^2}dy=-\displaystyle\int (x+1)dx+C$$
$$\therefore -\dfrac{1}{2}e^{-y^2}=-\dfrac{1}{2}x^2-x+C$$
$$\therefore e^{-y^2}=x^2+2x+C’・・・・・(答) (C’=-2Cとおいた)$$
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