$m$を2以上の整数とする。
整数$a, b, a', b'$について
$a\equiv a'(\mod m)$
$ b\equiv b'(\mod m)$
が成立しているとき、
(1) $a+b \equiv a'+b'(\mod m)$
(2) $a-b\equiv a'-b'(\mod m)$
(3) $ab \equiv a'b'(\mod m)$
を示せ。
整数$a, b, a', b'$について
$a\equiv a'(\mod m)$
$ b\equiv b'(\mod m)$
が成立しているとき、
(1) $a+b \equiv a'+b'(\mod m)$
(2) $a-b\equiv a'-b'(\mod m)$
(3) $ab \equiv a'b'(\mod m)$
を示せ。
modは足し算、引き算、掛け算をしても合同性が保たれます。割り算はできないことに注意しましょう。
今回はそれを証明する問題です。
では、解答です。
(1), (2), (3) $a\equiv a'(\mod m) \cdots$①
$\iff 「a-a'がmで割り切れる」$
$\iff 「a-a'=mk(kは整数)と表せる」$$b\equiv b'(\mod m)\cdots$②
$\iff 「b-b'がmで割り切れる」$
$\iff 「b-b'=ml(lは整数)と表せる」$$\therefore$ 「①かつ②」ならば、
$(a+b)-(a'+b') = (a-a')+(b-b')$=$m(k+l)\cdots$③ ($m$の倍数)$(a-b)-(a'-b')=\cdots$
$\iff 「a-a'がmで割り切れる」$
$\iff 「a-a'=mk(kは整数)と表せる」$$b\equiv b'(\mod m)\cdots$②
$\iff 「b-b'がmで割り切れる」$
$\iff 「b-b'=ml(lは整数)と表せる」$$\therefore$ 「①かつ②」ならば、
$(a+b)-(a'+b') = (a-a')+(b-b')$=$m(k+l)\cdots$③ ($m$の倍数)$(a-b)-(a'-b')=\cdots$
= $m(k-l)\cdots$④ ($m$の倍数)
$ab-a'b' = \cdots = m(a'l+b'k+mkl)\cdots$⑤ ($m$の倍数)
③、④、⑤より(1), (2), (3)が示された。
$x_1=1, x_2=1, x_{n+2}=x_{n+1}+x_n(n=1, 2, \cdots)$とする。
$x_n$が3の倍数であるための$n$の条件を求めよ。
$x_n$が3の倍数であるための$n$の条件を求めよ。
いろいろなやり方が考えられますが、ここではmodを使って解いてみましょう。
$x_n$が3の倍数となるので、mod3で考えます。
漸化式から一つ手前と二つ手前から次が定まるので、連続する2項がどこか２か所で一致すれば、そのあいだが繰り返されます。$\fbox{1 1}$に気ずけば規則性が見えます。つまり、
$(x_1, x_2)\equiv (x_9, x_{10})(\mod3)$となります。
では、解答です。
$x_n$が3の倍数となるので、mod3で考えます。
漸化式から一つ手前と二つ手前から次が定まるので、連続する2項がどこか２か所で一致すれば、そのあいだが繰り返されます。$\fbox{1 1}$に気ずけば規則性が見えます。つまり、
$(x_1, x_2)\equiv (x_9, x_{10})(\mod3)$となります。
では、解答です。
$(x_1, x_2)\equiv (x_9, x_{10})(\mod3)$より、$x_n(\mod3)$は$n=1~8$の間で繰り返し、その周期は8である。よって、$n$を8で割った余りで分類すると、
$x_n\equiv 0(\mod3) (n=8k+4, 8k)$
$x_n\equiv 1(\mod3) (n=8k+1, 8k+2, 8k+7)$
$x_n\equiv 2(\mod3) (n=8k+3, 8k+5, 8k+6)$
となる。
したがって、
$x_n\equiv 0(\mod3) \iff n=8k+4, 8k$
$\iff nを8で割った余りが4, 0$
$\iff nは4の倍数$
であるので、求める条件は
$n$は４の倍数$\cdots\cdots$(答)
である。
コメント