次の問いに答えよ。
(1) $\alpha, \beta$を実数とする。等式
$$\sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha - \beta)=2\sin \alpha\cos \beta$$
を示せ。
(2) $x, y$を実数とする。
$$\sin x +\sin y=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}, \cos x+\cos y=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$$
のとき、$\tan \dfrac{x+y}{2}$の値を求めよ。
(1) $\alpha, \beta$を実数とする。等式
$$\sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha - \beta)=2\sin \alpha\cos \beta$$
を示せ。
(2) $x, y$を実数とする。
$$\sin x +\sin y=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}, \cos x+\cos y=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$$
のとき、$\tan \dfrac{x+y}{2}$の値を求めよ。
(2)ですが、(1)の式の利用を意識しましょう。$\alpha+\beta=x$, $\alpha-\beta=y$とおけばそのまま(1)が利用できます。
では、解答です。
では、解答です。
(1) $$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha+\cos \beta+\cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
であるので、$$\sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha - \beta)=2\sin \alpha\cos \beta$$である。
(2) $\alpha+\beta=x$, $\alpha-\beta=y$とおくと、
$$\alpha=\dfrac{x+y}{2}, \beta=\dfrac{x-y}{2}$$
である。
したがって、 $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$$
であり、左辺を展開すると
$$2\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\cdots\cdots①$$
$$2\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\cdots\cdots②$$
①$\div$②をすると、
$$\tan\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$
$$=\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}$$
$$=2+\sqrt{3}\cdots\cdots(答)$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
であるので、$$\sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha - \beta)=2\sin \alpha\cos \beta$$である。
(2) $\alpha+\beta=x$, $\alpha-\beta=y$とおくと、
$$\alpha=\dfrac{x+y}{2}, \beta=\dfrac{x-y}{2}$$
である。
したがって、 $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$$
であり、左辺を展開すると
$$2\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\cdots\cdots①$$
$$2\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\cdots\cdots②$$
①$\div$②をすると、
$$\tan\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$
$$=\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}$$
$$=2+\sqrt{3}\cdots\cdots(答)$$
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