以下を示せ。
0 < $a$ < $b$のとき $1 - \dfrac{a}{b}$ < $log\dfrac{b}{a}$ < $\dfrac{b}{a} - 1$
まず、平均値の定理について確認しておきましょう。
関数$f(x)$が$[a, b]$で連続、$(a, b)$で微分可能ならば
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c), a < c < b$ をみたす実数$c$が存在する。
関数の差が対象の時はしばしば用います。特に、$sin-sin$や$log-log$が頻出です。
ただ、このようなときはいつでも使えるわけではありません。
上で述べた定義を満たしていることが条件です。要は、その関数が連続で微分可能かどうかですね。
では、解答です。
$f(x)=logx$は$x > 0$で微分可能で、$f'(x) = \dfrac{1}{x}$である。$[a, b]$において、平均
値の定理より、
$$\dfrac{logb - loga}{b - a} = \dfrac{1}{c}, a < c < b$$ をみたす$c$が存在する。 また、$0 < a < c < b$であるから、 $$\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{c} < \dfrac{1}{a}$$ よって、 $\dfrac{1}{b} < \dfrac{logb - loga}{b - a} < \dfrac{1}{a}$ したがって、$\dfrac{b - a}{b} < logb - loga < \dfrac{b - a}{a}$ すなわち $1 - \dfrac{a}{b} < log\dfrac{b}{a} < \dfrac{b}{a} - 1$
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