整数(基礎編)No.1

整数問題の攻略法はある程度パターン化されているように思えますが、根底にあるのは実験です。いろいろ試してみると突破口が見えてきます。今回はいわゆる「絞り込み」というパターンにはめられる問題の解説をしていきたいと思います。整数問題のときに大事なのは「このような問題のときはあのパターンかな?」という考え方ではなく、愚直に「実験してみよう!」と思うことなのです。
例えば「〇〇の条件を満たす自然数nの最大値を求めよ」という問題ならまずn=1から代入していって、条件を満たすから次は2を代入してみる、といった具合です。まあ、いろいろ問題を解いていきながら示していきましょう!それではこのような問題です。W

2つの不等式

$$ab+1 \leqq abc\leqq ab+bc+ca+1, a > b > c \geqq 1$$

をみたす整数の組$(a, b, c)$をすべて求めよ。

まず整数問題では大小関係を意識することが大切です。本問では2行目に$a, b, c$の大小関係がありますよね。もし、大小関係がなければ自分で設定することも要求されます。もちろん勝手に設定して「はい、終わり」では問題文の趣旨が変わってくるのでダメです。だから最後は勝手に設定した大小関係を崩してすべてのパターンで答える必要があります。そのような問題はまたどこかでやりましょう。さて、本問ですが1つ目の不等式には文字が3つ含まれいて因数分解もできそうにないし、グラフも書けませんよね。(グラフから考察することもよくやりますよ!)そこで2つ目の不等式(大小関係)を用いましょう。まず1番大きいのは$a$だから$b, c$をすべて$a$と比較する、ということを思いつくかもしれませんよね。そうすると、このようになります。
$$ab+bc+ca+1\leqq 3a^2+1$$
確かに右辺は$a$だけの式になりずいぶん見やすくなりました。しかし、真ん中の$abc$とあわせると
$$abc\leqq 3a^2+1$$
となり、うまくいきません。
$abc$と比較するわけですから、右辺も積の形で残すことを意識しましょう。そこでポイントになるのが、塊(積)とみて$ab, bc, ca$のなかで最大なのはどれか?です。もちろん$ab$ですからぜんぶ$ab$と比較しましょう。するとこのようになります。

$$abc\leqq ab+bc+ca+1 < ab+ab+ab=3ab$$

すなわち、
$$abc < 3ab (イコールはつきませんよ)$$ ですから、$ab$をまとめて消せますね。すると$c < 3$といううれしい$c$の条件が得られました。$c$は整数ですから、$c=1, 2$に限られますよね。もうここまで来たらあとは楽勝です。しらみつぶしに$c$を順に1, 2と代入するだけです。

それでは解答です。

 

 

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