整数(基礎編)No.2

今回は整数問題でよく使う背理法を扱った問題を解説していきます。今まで「無理数であることを示せ、のときは背理法を使う」と覚えている人が多いのではないでしょうか。いわゆる否定命題のときは背理法をつかうのは受験数学では定石ですね。ところでなぜそうするのかといえば、もちろん直接証明するよりも簡単でやりやすいからですが、「否定命題のときは背理法」とだけ覚えていてもなかなか応用が利きません(そのあたりはまたどこかでやりましょう)。ではとりあえず今回は背理法を用いる問題を1題解説していきましょう。このような問題です。

(1) $log_2 5$は無理数であることを示せ。
(2) $p\geqq 2, q\geqq 1$なる整数$p, q$に対して、${log_p (p+1)}^\dfrac{1}{q}$は無理数であることを示せ。

無理数の証明といえば背理法の利用がすぐ浮かびますよね。背理法というのは一旦そうではない、とウソをついておいて最後に数学的な矛盾を導く、というやり方です。ここでは「無理数ではない」とウソをつくわけですから、すなわち「有理数である」とウソをつけばよいわけです。有理数というのは分数の形で表せる数のことです。(分母分子ともに整数でもちろん分母が1であってもいいですよ)また、分数の形といっても既約分数(分母と分子が互いに素)にしておくことがポイントです。実際、互いに素でなくても問題ないこともありますが、とりあえずつけておくほうが良いです。
さて、ここまでの設定でつまる人はほとんどいないでしょうが、先ほど数学的な矛盾を導くと言いました。数学的であればどのような矛盾でも構いません。例えば、左辺は偶数なのに右辺は奇数であるというのも立派な数学的矛盾です。ここがポイントで背理法を設定してからどのように矛盾を導くかを意識しないといけません。ところが問題を見ただけではどこで矛盾するかはわかりませんから、とりあえず式を変形してから考えましょう。(1)では、$log_2 5=\dfrac{n}{m}$とまず設定できますから、これを変形すると$5=2^\dfrac{n}{m}$となり、$5^m=2^n$になります。これは、左辺が奇数で右辺が偶数ですから明らかに矛盾ですよね。(素因数が異なるという言い方もします) (1)は多くの人ができると思いますが(2)で差が開くと思うのでじっくり見ていきましょう。
(2)も有理数と仮定(ウソをつく)するところは大丈夫でしょう。すなわち${log_p (p+1)}^\dfrac{1}{q}=\dfrac{n}{m}$と設定します。(1)同様に式を変形していくと(特に難しい変形はしません)、結局$(p+1)^{m^q}=p^{n^q}$という式にたどり着きます。さて、この式から数学的矛盾をどう導きましょうか。両辺とも累乗が複雑でわかりにくいですね。2乗なら2回かけるだけですよね。100乗なら100回かけるだけです。では、今回は?左辺は$m^q$回、右辺は$n^q$回かけるだけです。見た目に惑わされないでくださいね。さあ、もうひと踏ん張りです!奇数は奇数回(例えば5回)かけても偶数回(例えば8回)かけても奇数です。(3の5乗も3の8乗も奇数ですよね) 偶数も奇数回(例えば5回)かけても偶数回(例えば8回)かけても偶数です。今、$p$と$p+1$は連続する整数ですから当然どちらかが奇数でどちらかが偶数です。となると両辺で偶奇が異なりますよね。
では、解答です。

 

(1) $log_2 5$が有理数であると仮定する。

つまり、$log_2 5 > 0$より、互いに素な自然数$m, n$に対して、
$$log_2 5 = \dfrac{n}{m}$$
と表せると仮定する。
変形すると、$$5=2^\dfrac{n}{m}$$
$$\therefore 5^m=2^n$$
となる。

しかし両辺の素因数が異なり矛盾。

よって、$log_2 5$は無理数である。

(2) ${log_p (p+1)}^\dfrac{1}{q}$が有理数であると仮定する。

つまり、${log_p (p+1)} > 0$より、互いに素な自然数$m, n$に対して、
$${log_p (p+1)}^\dfrac{1}{q}=\dfrac{n}{m}$$
と表せる。
$$log_p (p+1)=(\dfrac{n}{m})^q$$
$$\therefore p+1=p^\dfrac{n^q}{m^q}$$
$$\therefore (p+1)^{m^q}=p^{n^q}$$

$m^q\geqq 1, n^q\geqq 1$より、両辺の偶奇が異なり矛盾。

よって、${log_p (p+1)}^\dfrac{1}{q}$は無理数である。

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